那么，怎么计算这个二重积分呢？
如何用二重积分来表示面积呢？
来想想二重积分的其他用途吧。
先来说说关于建立二重积分的事。
这边是平面上普通的二重积分。
没有必要对二重积分重新命名了。
The double integral side does not even have any kind of renaming to do.
我们已经学过，二重积分和线积分。
We've learned about double integrals, and we've learned about line integrals.
求S上zdxdy的二重积分。
要懂得如何计算一个函数的二重积分。
一个是建立并计算二重积分。
这是极坐标系下的二重积分。
但是让我们用二重积分来做。
这也就是二重积分的意义。
这是由于我们才刚开始做二重积分的缘故。
这也就说明了，可以用极坐标做二重积分。
The claim is we are able, to do double integrals in polar coordinates.
由于表面是二维的，所以结果是二重积分。
Because a surface is a two-dimensional object, that will end up being a double integral.
区域R的面积是函数1在R上的二重积分。
然后观察二重积分,看看能不能使两式相等。
Next, I should try to look at my double integral and see if I can make it equal to that.
那么，使用格林公式，我们去计算二重积分。
So, using Green's theorem, the way we'll do it is I will, instead, compute a double integral.
关于在xy坐标系里建立二重积分有问题吗？
OK, any questions about how to set up double integrals in xy coordinates?
这就是二重积分的基本定义了。
我们已经学过，如何建立这种二重积分的公式。
We've seen various formulas for how to set up the double integral.
当然，还要学习如何去计算二重积分。
就二重积分来讲,它是对区域里函数值求总和。
The way we actually think of the double integral is really as summing the values of a function all around this region.
至此我已经得到了，用来计算二重积分的所有量。
如果是一条闭曲线，也可以用二重积分来代替的。
If it is a closed curve, we should be able to replace it by a double integral.
总之，就是用几何方法或是在曲面上建立二重积分。
Use geometry or you need to set up for double integral of a surface.
也就是最终要摆脱曲面积分，回到常规的二重积分。
And this is finally where I have left the world of surface integrals to go back to a usual double integral.
要计算二重积分，要做的就是要利用切面。
So, to compute this integral, what we do is actually we take slices.
但在大多数情况下，我们需要了解怎样建立二重积分。
But most of the time we need to learn how to set up double integrals.
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