极限法的完善与微积分的严格化密切联系.
在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试解决,但都未能如愿以偿.这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚;对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解;对有限和无限的对立统一关系还不明确.这样,人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法,就不能适应变量数学的新需要,仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”,相互转化的辩证关系.
到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义.其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量.”它接近于极限的正确定义,然而,这些人的定义都无法摆脱对
几何直观的依赖.事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在
几何量的概念上面的.
首先用极限概念给出
导数正确定义的人,是捷克数学家波尔查诺,他把
函数f(x)的导数,定义为
差商Δy/Δx的极限f′(x),他强调指出,f′(x)不是两个零的商.波尔查诺的思想是有价值的,但关于极限的本质他仍未说清楚.
到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值.”特别地,当一个变量的数值(
绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小.
柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.
柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望.但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.
为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯脱拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础.所谓an=A,就是指:“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|an-A|<ε恒成立.”
这个定义,借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍不显得陈旧.在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系,此外只是给定、存在、任取等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不求助于运动的直观.
众所周知,常量数学静态地研究数学对象,自从解析几何和微积分问世以后,运动进入了数学,人们有可能对物理过程进行动态研究,之后,维尔斯脱拉斯建立的ε-N语言,则用静态的定义刻划变量的变化趋势.这种“静态──动态──静态”的螺旋式的演变,反映了数学发展的辩证规律.
综上所述可见,极限法的引入与完善是出于社会实践的需要,是几代人奋斗的结果,不是哪一个数学家苦思冥想出来的.