概念及其证明
弦
上图
切角定理:
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
如上图,已知:直线PT切圆O于点C,BC、AC为圆O的弦。
求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
证明:设圆心为O,连接OC,OB,。
∵PC²=PB×AP
∴PC/AP=PB/PC
又∵∠CPB=∠BPC
∴△CAP∽△BCP
∴∠CAP=∠BCP
∴∠TCB=∠BAC
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
衍生问题及其证明
已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证:弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径
∴弧CmA=弧CA
∵弧CA为半圆,
∴弧CmA的度数为180°
∴∠CAB=90°
(2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点
E,
连接EC、ED、EA。则
∵弧CD=弧CD
∴∠CED=∠CAD
∵AD是圆O的直径
∴∠DEA=90°
∵AB为圆的切线
∴∠BAD=90°
∴∠DEA=∠BAD
∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC
又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
(3)圆心O在∠BAC的外部
过A作直径AD交⊙O于D,连接CD
∵AD是圆的直径
∴∠ACD=90°
∴∠CDA+∠CAD=90°
∵AB是圆O的切线
∴∠DAB=90°
∴∠BAC+∠CAD=90°
∴∠BAC=∠CDA
∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
弦切角定理逆定理
定理:以三角形任意一条边为邻边,在三角形外部作一个角等于该边的对角,那么所作角的另一边与三角形外接圆相切,切点为所作角的顶点。
几何描述:设△ABP的外接圆为⊙O,在△ABP外部作∠BAC=∠BPA,则AC切⊙O于A。
注意定理的描述,所作角必须在三角形的外部,且该角与三角形有公共的边。
该定理的等价描述为:角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。
几何描述:设直线AC与圆相交于A,AB是圆的一条弦,P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA,则∠BAC是弦切角,即AC与圆相切于A。
(1)当∠BPA=90°时,AB为直径。
∠BAC=∠BPA=90°,即AB⊥AC
经过直径的一端,并且与直径垂直的直线是圆的切线,∴AC是⊙O的切线,切点为A。
(2)当∠BPA<90°时,作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB
∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB
即∠DAC=∠DPA=90°
由(1)得AC与⊙O切于A
(3)当∠BPA>90°时,作直径AD,连接PD,则∠DPA=90°
∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD
∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD
即∠DAC=∠DPA=90°
由(1)得AC切⊙O于A