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开映射定理
百科内容来自于:
结果
开映射定理有一些重要的结果:
如果
A
:
X
→
Y
是巴拿赫空间
X
和
Y
之间的
双射
连续线性算子,那么逆算子
A
:
Y
→
X
也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果
A
:
X
→
Y
是巴拿赫空间
X
和
Y
之间的线性算子,且如果对于
X
内的每一个
序列
(
x
n
),只要
x
n
→ 0且
Ax
n
→
y
就有
y
= 0,那么
A
就是连续的(闭图像定理)。(Rudin 1973, 定理2.15)
证明
我们需要证明,如果
A
:
X
→
Y
是巴拿赫空间之间的连续线性满射,那么
A
就是一个开映射。为此,只需证明
A
把
X
内的单位球映射到
Y
的原点的一个邻域。
设
U
,
V
分别为
X
和
Y
内的单位球。那么
X
是单位球的倍数
k
U
的序列的交集,
k
∈
N
,且由于
A
是满射,
根据
贝尔纲定理
,巴拿赫空间
Y
不能是可数个
无处稠密集
的并集,故存在
k
> 0,使得
A
(
kU
)的
闭包
具有非空的内部。因此,存在一个开球
B
(
c
,
r
),其中心为
c
,半径
r
> 0,包含在
A
(
kU
)的闭包内。如果
v
∈
V
,那么
c
+
r
v
和
c
位于
B
(
c
,
r
)内,因此是
A
(
k
U
)的
极限点
,根据加法的连续性,它们的差
rv
是
A
(
k
U
) −
A
(
k
U
) ⊂
A
(2
k
U
)的极限点。根据
A
的线性,这意味着任何
v
∈
V
都位于
A
(
δ
U
)的闭包内,其中
δ
=
r
/ (2
k
)。于是可以推出,对于任何
y
∈
Y
和任何
ε
> 0,都存在某个
x
∈
X
,满足:
且 固定
y
∈
δ
V
。根据(1),存在某个
x
1,满足||
x
1|| < 1且||
y
−
A
x
1|| <
δ
/ 2。定义序列{
x
n
}如下。假设:
且 根据(1),我们可以选择
x
n
+1,使得:
且 因此
x
n
+1满足(2)。设
从(2)的第一个不等式可知,{
s
n
}是一个
柯西序列
,且由于
X
是完备的,
s
n
收敛于某个
x
∈
X
。根据(2),序列
A
s
n
趋于
y
,因此根据
A
的连续性,有
A
x
=
y
。而且:
这表明每一个
y
∈
δ
V
都属于
A
(2
U
),或等价地,
X
内的单位球的像
A
(
U
)包含了
Y
内的开球(
δ
/ 2)
V
。因此,
A
(
U
)是
Y
内0的邻域,定理得证。
推广
X
或
Y
的局部凸性不是十分重要的,但完备性则是:当
X
和
Y
是F空间时,定理仍然成立。更进一步,这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11):
设
X
为F空间,
Y
为
拓扑向量空间
。如果
A
:
X
→
Y
是一个连续线性算子,那么要么
A
(
X
)是
Y
内的贫集,要么
A
(
X
) =
Y
。在后一个情况中,
A
是开映射,
Y
也是F空间。 更进一步,在这个情况中,如果
N
是
A
的
核
,那么
A
有一个标准分解,形如下式:
其中
X
/
N
是
X
对
闭
子空间
N
的
商空间
(也是F空间)。商映射
X
→
X
/
N
是开放的,且映射
α
是
拓扑向量空间
的
同构
(Dieudonné, 12.16.8)。
参考文献
Rudin, Walter (1973),
Functional Analysis
, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 Dieudonné, Jean (1970),
Treatise on Analysis, Volume II
, Academic Press 本文含有从PlanetMath上的 Proof of open mapping theorem 来的材料,版权遵守 知识共享 署名-相同方式共享 协议。
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- 来自原声例句
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