把向量外积定义为：
|a ×
b| = |
a|·|
b|·Sin<
a,
b>.
方向根据右手法则确定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向，被规定为外积的方向。
向量外积
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定义
运算
向量外积的代数运算形式为：
|
e(i) e(j) e(k)|
a×
b=| x(a) y(a) z(a) |
| x(b) y(b) z(b) |
这个行列式，按照第一行展开。
e表示标准单位基。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a×
b= -
b×
a.
这由外积的定义是显然的。
a·（
b+
c) =
a·
b+
a·
c,
（
a+
b）·
c=
a·
c+
b·
c.
这由内积的定义
a·
b= |
a|·|
b|·Cos<
a,
b>；，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义（
a×
b）·
c为向量
a,
b,
c的混合积，容易证明：
i) (
a×
b）·
c的绝对值正是以
a,
b,
c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由
a,
b,
c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
从而就推出：
ii)
a·（b×c)=b·（c×a)=c·（a×b)
所以我们可以记
a,
b,
c的混合积为（
a,
b,
c)
推理
由i）还可以推出：
iii) (
a,
b,
c) = (
b,
c,
a) = (
c,
a,
b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个向量
a同时垂直于三个不共面矢
a1,
a2,
a3，则a必为零向量。
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意向量，在
r·[
a×（
b +
c)]里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有
r·[
a×（
b +
c)]
= (
r×
a）·（
b +
c)
= (
r×
a）·
b + (
r×
a）·
c
=
r·（
a×
b) +
r·（
a×
c)
=
r·（
a×
b +
a×
c)
r·[
a×（
b +
c) - (
a×
b +
a×
c)] =
0
这说明向量
a×（
b +
c) - (
a×
b +
a×
c）垂直于任意一个向量。按3）的iv），这个向量必为零向量，即
a×（
b +
c) - (
a×
b +
a×
c) =
0
所以有
a×（
b +
c) =
a×
b +
a×
c.
证毕。
三向量的外积
a×（b×c）=(a·c)b-（a·b）c
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