定义 矩阵范数:
一个在
的矩阵上的矩阵范数(matrix norm)是一个从
线性空间到实数域上的一个函数,记为||
||,它
对于任意的
矩阵A和B及所有实数a,满足以下四条性质:
-
||A||>=0;
-
||A||=0 iff A=O (零矩阵); (1和2可统称为正定性)
-
||aA||=|a| ||A||; (齐次性)
-
||A+B||<= ||A|| + ||B||. (三角不等式)
在一些教科书上定义的矩阵范数是对于
阶矩阵的,这种定义往往要求矩阵满足相容性,即
5.||AB||<=||A|| ||B||. (相容性)
在本文中,对于矩阵范数的定义仅要求前4条性质,而满足第5个性质的矩阵范数称为服从乘法范数(sub-
multiplicative norm)
。。。
一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性和三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。 如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。
注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为m*n矩阵全体和m*n维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。