【正弦函数】的意思_什么是正弦函数

数学术语

正弦函数是三角函数的一种.

定义与定理

定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a/sin A=b/sin B=c/sin C

在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）

图像

图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)

正弦函数x∈&amp

定义域

实数集R

值域

[-1，1] （正弦函数有界性的体现）

最值和零点

①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1

②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1

零值点：（kπ,0) ，k∈Z

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称

2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称

周期性

最小正周期：y=Asin（ωx+φ） T=2π/|ω|

奇偶性

奇函数（其图象关于原点对称）

单调性

在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.

在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.

正弦型函数及其性质

正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h

各常数值对函数图像的影响：

φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）

ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）

A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）

h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

作图方法运用“五点法”作图

“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 y坐标等于 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ= y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sin θ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负

sina

对于大于 2π 或小于 0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为 2π的周期函数。

诱导公式

	sin	cos	tαn	cot	sec	csc
π/2（90°）-α	cos	sin	cot	tαn	csc	sec
π/2（90°）+α	cos	-sin	-cot	-tαn	-csc	sec
π（180°）-α	sin	-cos	-tαn	-cot	-sec	csc
π（180°）+α	-sin	-cos	tαn	cot	-sec	-csc
3π/2（270°）-α	-cos	-sin	cot	tαn	-csc	-sec
3π/2（270°）+α	-cos	sin	-cot	-tαn	csc	-sec
2π（360°）-α	-sin	cos	-tαn	-cot	sec	-csc
2kπ（k*360°）+α	sin	cos	tαn	cot	sec	csc

助记方法：
　　“奇变偶不变，符号看象限。”（π/2的奇数倍或偶数倍，“变”就是三角函数名的改变。）

符号、单调性

	1	2	3	4	x+	y+	x-	y-
sin	+，+	+，-	-，-	-，+	0	1	0	-1
cos	+，-	-，-	-，+	+，+	1	0	-1	0
tαn	+，+	-，+	+，+	-，+	0	+1/0-	0	+1/0-
cot	+，-	-，-	+，-	-，-	-1/0+	0	-1/0+	0
sec	+，+	-，+	-，-	+，-	1	+1/0-	-1	-1/0+
csc	+，-	+，+	-，+	-，-	-1/0+	1	+1/0-	-1

注：1/0表示不存在，+1/0=1/0+=+∞，1/0-=-1/0=-∞，左边的符号是左趋近，右边的符号是右趋近，第一个是符号，第二个是单调性

四则运算

sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β

sin2α=2sin αcos α

sin（α+2kπ）=sin α

sin(-α）=-sin α

sin（π-α）=sin α

sin（π/2-α）=cos α

sin α=cos（π/2-α）

sin（π+α）=-sin α

sin（3π/2-α）=-cos α

sin（3π/2+α）=-cos α

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