Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；
Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；
则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：
（1）
封闭性
若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;
（2）
结合律成立
任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);
（3）
单位元存在
存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;
（4）
逆元存在
任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.
通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.
若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。