|z|=r= √(x^2+y^2) 。
除未塞尔(1745-1817),阿工(1768-1822)的工作外,科兹(1707-1783)棣美弗(1667-1754),欧拉 (1707-1783),范德蒙(1735-1796),也曾认识到平面上的点可与复数一一对应,这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.
但是,在这方面高斯的贡献是十分重要的,他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以 一一对应的前提下推出的.
1831年,高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi表示成平面上的一个点(a,b).从而明确了复平面 的概念,他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合,统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代 数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称,由于高斯的卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平面.
复平面特点
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴,原点表示实数0,原点不在虚轴上。复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,反过来,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.
复数的几何表示
1 三角表示式:
任意一个复数z≠0有无穷多个辐角。如果θ1是其中的一个,那么,Argz=θ1+2kπ(k为任意整数),就给出了z的全部辐角。在(z≠0)的辐角中,我们把满足-π<;θo<;π的θo称为Argz的主值,θo=argz.
当z=0时,|z|=0,而辐角不确定。
利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosθ,y=rsinθ,把z表示成z=r(cosθ+isinθ),称为复数的三角表示式。
2指数表示式:
利用欧拉(
Euler)公式 e^iθ=cosθ+i sinθ:
,可以得到z=re^iθ,称为复数的指数表达式。