设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a
2+b
2=c
2,这是构成直角三角形三边的
充分必要条件。因此,要求一组勾股数就是要解
不定方程x
2+y
2=z
2,求出
正整数解。
例:已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n
2-1,b=2n,c=n
2+1(n>1),求证:∠C=90°。
此例说明了对于大于2的任意
偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n
2-1、n
2+1。如:(6、8、10),(8、15、17),(10、24、26) 等。
再来看下面这些勾股数:(3、4、5),(5、12、13),(7、24、25)、(9、40、41),(11、60、61)…这些勾股数都是以
奇数为一边构成的
直角三角形。由上例已知任意一个大于2的
偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n>1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n
2+2n、2n
2+2n+1,这可以通过
勾股定理的逆定理获证。
另外我们还可以通过理论得出推算公式为
a=m
2-n
2, b=2mn,c=m
2+n
2,
此处不作讨论。