尽管几乎所有的群都是非交换群， 但是我们常见的群却都是交换的。比如整数加法群， 上同调群。

非交换群是更普遍的对象。 比如对称群、交错群、一般线性群、特殊线性群等等。

交换群其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家阿贝尔在研究高次方程的根式求解时，除了五次方程以外，他讨论了更广一类的方程，现称之为阿贝尔方程。其全部根都是其中一个根的有理函数，设 是n次阿贝尔方程的一个根，其全部根则为 其中 是有理函数，并且对于任意的 ，有 后人发现，阿贝尔方程是具有交换律的伽罗瓦群的方程。为了纪念阿贝尔，后人称交换群为阿贝尔群。

交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具。例如，拓扑学中的基本群、同调群，代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑学、模论、同调代数、环论等有着密切的联系。

群的概念在代数中是最简单，也是最基本的在十八世纪已经有效地被运用来解决方程式。以下我们来介绍最简单的有限交换群的结构，交换群也叫阿倍尔群，是由挪威数学家阿倍尔引进的。 (数学家阿倍尔传刊于科学月刊三卷六期) 首先我们先介绍一些集合的观念及符号﹕ 假设S是一集合，a是S中之元素，以aЄS表示，假设T是另一集合，S∪T表示联集，S∩T表示交集，S/T表示T在S中之余集，用Φ表示空集合。 S×T是所有有序数对(a,b),aЄS,bЄT所形成的集合。从S到T的对应(mapping)为一种S,T元素间之对应，而一个S中之元素只能对应到唯一的T之元素。注意数个S之元素可能对应到同一T之元素。 S中之运算(operation)就是从S×S到S之对应。例如整数间之加法、减法和乘法都是整数中的运算。顺便谈一些算术的定里。称一整数p为质数，如果p只能被±1，±p整除，称任何n个整数互质，如果它们的最大公约数为1。

定理A(算术基本定理) 任何整数a都可唯一地表成质数的乘积，换句话说可以找到m个正质数p1,…,pm,m个正数r1,…,rn,p1<p2<…<pm而。

定理B 假设a1,…,an是任何n个整数，它们的最大公约数(Greatest common divisor)为d，则可以找到n个整数b1,…,bn使得 a1b1+…+anbn=d 通常把a1,…,an之最大公约数写成(a1,a2,…,an)。 定理C 假设a1,…,an互质，则可以找到n个整数b1,…,bn使得a1b1+…+anbn=1。 关于这些定理的证明，读者可参看本刊第一卷第10期第37-40页，项武义先生着“整数的因子分解”一文。 (参考43页) 定义一假设G是非空集合，(。)是G中之运算，如果(。)适合下列三条件则称(G,。)为群(Group)。 (G1)(。)适合结合律(Associative)﹕假设a,b,cЄG,则(a。b)。 c=a。 (b。c) (G2)对于(。)，G中存在一单元(Identity)﹕G中存在一元素e，对于任何G中之元素a，则 a。 e=e。 a=a (G3)任何S中元素之逆元(Inverse)存在﹕任何aЄG,可找到bЄG,使得a。 b=b。 a=e,b被称为a之逆元，用a-1表示。 定义二群(G,。)被称为交换群，如果(。)适合下列条件﹕ (G4)(。)可交换(Commutative)﹕若a,bЄG则a。 b=b。 a 例子﹕ 例一﹕假设Z是所有整数的集合，取Z中之运算为加法(+)，则(Z,+)是一交换群。如果取运算为减法(－)，则(Z,－)不是群，因为(－)不适合结合律。 例二﹕假设m是正整数，S是{0,1,2,…,m－1}形成的集合，定义S中之运算(。)如下﹕假设a,bЄS,取a。 b=c,c是以m除a+b后之余数。则(S,。)是交换群，用Zm表示。 例三﹕假设S是非空集合，G是所有把S一一应到S上之对应，定义G之运算(。)如下﹕假设f,gЄG,xЄS,x在g对应下之映像为g(x ),定义x在f。 g对应下之映像为f(g(x))，即g(x)在f对应下之映像，则(G,。)形成一个群。如果S只包含一个或两个元素时，(G,。)是交换群。如果S包含三个以上的元素时，(G,。)不是交换群。如果S只包含有限n个元素，(G,。)被称为n-排列群，用Sn表示。 定义三假设(G,。)是群，G所包含元素的数目，称为G之阶数(order)，用。 (G)表示，如果。 (G)是有限数，则称G为有限群，否则称为无限群。 例子： 例一是无限群，例二是有限群，例三中如果S是有限集合则G为有限群，否则为无限群。 定义四假设(G,。)是群，H是G之非空子集，如果(H,。)亦为群，则称(H,。)为(G,。)之子群。 例子﹕ 在例一中，假设2Z为所有偶数的集合，则(2Z,+)为(Z,+)之子群。在例二中，假设m=n． r,nZm为0,n,2n,…,n(r－1)所形成之集合，则 (nZm,。)为(Zm,。) 之子群。在例三中，假设T为S之非空真子集，H为所有把T固定的G之元素所成的集合，则(H,。)为(G,。)之子群。 注意﹕ 假设a是群(S,。)之一元素，因为(。)适合结合律，我们可以把(a。…(a。(a。a))…)(a本身运算n次)写成a。 a。 …。 a或an。 定义五假设(G,。)是群，如果在G中可找到一元素a，使得任何S中之元素x都可写成an或(a-1)n的形式时，则称(G,。 )为循环群(Cyclicgroup)，a为(G,。)之母元(Generator)。 很明显循环群一定是交换群，而交换群不一定是循环群。交换群(或循环群)的子群一定是交换群(或循环群)。而如果一个群，它的群子群都是交换群(或循环群)时，这个群不一定是交换群(或循环群)。例如在例三中之S3的所有真子群都是循环群而S3不是交换群。 循环群的结构已经很清楚，我们的目的就是找出有限交换群与有限循环群的关系。从此处开始，假设(G,。)是有限交换群。我们都熟悉加法，知道加法是可交换的，所以在(G,。)中，用加法(+)代替运算(。),(G,+)代替(G,。),a+b代替a。 b,－a代替a之逆元a-1,ma代替am,0代替单元e,把(G,+)简写为G,省略(+)。 定义六假设aЄG，如果存在正整数m使得ma=δ,则称m为a之指数，最小的a之指数称为a之阶数(order)，用δ(a)表示。

任何G的元素的阶数都存在。 证明﹕如果在G中存在一元素a的阶数不存在，换句话说对任何正整数m,ma≠0,假设m,n为不等的正整数，则ma≠na,假设ma=na, m<n，则(n－m)a=0与上述矛盾，所以ma≠na。 G包含所有ma,m是任何正整数，所以。 (G)是无穷大与假设矛盾。 假设T是G之非空子集，aЄG,令a+T为所有a+t,tЄT之集合。

假设H为G之子群；a,bЄG。如果(a+H)∩(b+H)≠ψ则a+H=b+H,或是如果a+H≠b+H则a+H与b+H无共同元素。 证明﹕假设(a+H)∩(b+H)≠ψ,取xЄ(a+H)∩(b+H),则在H中可找到s,tЄH,使得x=a+s=b+t。 a-b=t-sЄH。取b+H中之任一元素y=b+h,hЄH。 考虑h'=－(a－b)+h,则 a+h'=b+hЄa+H 所以同理可证，所以a+H=b+H。

假设H为G之子群，则o(G)为o(H)之倍数。 证明﹕假设o(G)=n,o(H)=m,G包含a1,a2,…,an,n个元素，则 G=(a1+H)∪(a2+H)∪…∪(an+H)﹐ 根据辅理二，可以找到b1,…,brЄG使得 G=(b1+H)∪…∪(br+H)。 而假设i≠j则(bi+H)∩(bj+H)=ψ,所以 o(G)=o(b1+H)+…+o(br+H), o(bi+H)为bi+H所包含元素的数目。 我们来证明o(bi+H)=o(H) 假设 biЄH,则bi+H=H,故o(bi+H)=o(H)。假设,考虑一个对应f如下﹕对任何xЄH,f把x对应到bi+xЄbi+H,则f把H一一对应到bi+H,所以o(H)=o(bi+H ),o(G)= ro(H), o(G)为o(H)之倍数。

任何xЄG,o(G)为δ(x)之倍数。 证明﹕假设H为所有mx,m是整数的集合。从定理一，我们知道H为有限循环群，根据阶数的定义，可以证明o(H)=δ(x)。 H为G之子群，从辅理三，o(G)为o(H)之倍数，所以o(G)为δ(x)之倍数。辅理五假设p是可以整除o(G)之质数，假设Gp是所有G中之元素x，而δ(x)是p的次方(或可以找到一整数m,δ(x)=pm)所形成之子集，则Gp为G之子集。 证明﹕要证明Gp为G之子集，只须证明任何a,bЄGp则a－bЄGp假设δ(a)=pr,δ(b)=ps,取t为s,r之最小公倍数，则o( a－b)=pt,所以a－bЄGp。

定义七辅理五中之Gp,称为G中之p一子集。 定义八假设H1,H2,…,Hm为G之任何m个子群，令H1+H2+…+Hm为所有G中之元素x,x可以写成a1+a2+…+am,aiЄHi,i=1, …,m,所形成的集合，称为H1,H2,…,Hn之和，用来表示。 很容易可以证明是包含所有Hi,i=1,…,n的所有G的子群中之最小者。

定义九在定义八中，如果对于所有i=1,…,mHi∩(H1+…+Hi-1+Hi+1+…+Hm)={0}时，则称为直接和( Direct sum)，用来表示。 定理一假设p1,p2,…,pn为n个不相等的质数，r1,r2,…,rn为n个正整数，则证明﹕我们必须证明G适合下列两条件1.原，2.对任何i=1,2,…,n则，第一﹕是很明显，要证明条件1,只须证明，任取xЄG,从辅理四可知δ(x)整除o(G),所以可以找到整数 si, o≦si≦ri, i=1,……,n 使得，对任何i=1,…,n取，则这一组整数{b1,…,bn}之最大公约数为1，根据定理B，可以找到n个整数c1,…,cn,使得c1b1+…+cnbn=1,所以 第二﹕对任何i=1,…,n,证明重新排列质数pi,我们只须证明i=1时。假设，则可以找到s1使得对任何i=2,…,n,可以找到xiЄGpi,使得x=x2+…+xn,假设则。 而与互质,根据定理C,可以找到整数a,b,使得。

根据定理一，任何有限交换群皆可写成p-子群之直接和，如果我们知道p-子群的结构，则有限交换群的结构就很清楚。以下我们来讨论p-子群之结构，从此以后我们假设p为一质数，H为p-群，或任何H之元素之阶数都是p的次方。 定义九假设在p-群H中可以找到s个循环子群，而则称H是(r1,…,rs)形态。 定理二假设p是大于1的质数，H为一p-群则可找到正整数r1,…,rs而H为(r1,…,rs)形态。 证明﹕假设o(H)=n,我们用归纳法来证明定理，当n=1时H只包含一元素o,定理成立，假设n=m时定理成立，我们来证明n=m+1时定理亦成立。 因为H是有限群，可以在H中找到一元素t,它的阶数是所有H的元素的阶数之最大者。取T为所有所形成的集合，则T为一循环子群，而，取 S=(H/T)∪{0} 即所有不被包含在T中之H的元素与0所形成的集合。 如果S={0},则H=T,所以H是(r1)形态，定理成立。假设，S是一有限集合，在所有被包含在S中之H之子群，我们可以找到一最大者M。这里「最大」的意思是任何被包含在S中之H之子群N,如果，则N=M。注意这种最大子群的存在并非唯一的，我们只取其中之任何一个。 我们来证明H=T⊕M,根据M的选法，T∩M={0},都是显而易见，我们只须证明。假设H≠T+M,取而，取N为所有0,x,…,[δ(x)－1]x所成的集合，则N为H之循环子群以x为母元，o(N)=δ(x)。假设N∩(T⊕M)={0},则N⊕M是被包含在S中之H之子群而，与M之最大性相矛盾，所以N∩(T⊕M)≠ {0}。

事实上它仍是H中之一循环子群，取它的母元y,令y=ax。 假设a与p互质，则a与δ(x)互质。根据定理C,可以找到整数b,c使得ba+cδ(x)=1,所以 x=〔ba+cδ(x)〕x=bax+cδ(x)x， x=byЄN∩(T⊕M)与上述之假设相矛盾。所以a可以写成αpβ。则(α,p)=1, β≧1。则 y=ax=αpβx另外假设 y=&micro;pνt+m, (&micro;,p)=1, ν≧0, mЄM。 如果ν<β， 则所以 根据r1之定义,而右边不等于0,因为r1－β+ν< r1产生矛盾，所以ν≧β。而且 pβ(αx－pν-β&micro;t)=m,取 z=αx－pν-β&micro;t。 我们来证明对于所有在1﹐pβ之间的整数d。假设可以找到一整数d, 1≦d<pβ而 dzЄT⊕M。 则可以找到 t1ЄT,m1ЄM,使得 dz=t1+m1,d=(αx－pν-β&micro;t)= t1+m1 dαx=(t1+dpν-β&micro;t)+m1ЄN∩(T⊕M)。

假设 dαx=ey=eαx=eαpβx﹐ 所以pβ整除d,d≧pβ与假设矛盾。 所以如果1≦d<pβ﹐则假设R为以z为母元的H的循环子群，根据上述的证明。我们来证明 (R+M)∩T={0},取WЄ(R+M)∩T﹐ 根据上述的证明，可以找到整数a,0≦a≦pβ,及mЄM使得 ω=αz+mЄ(R+M)∩T﹐所以αz=ω－mЄT⊕M 又与上述之结果相矛盾，所以(R+M)∩T={0}。而又与M之最大性相矛盾。归根结底，矛盾全出于H≠T⊕M的假设，所以H=T⊕M。 现我们知道M是H中之一真子群，所以o(M)<o(H)=n﹐可以利用归纳法的条件。 M可以写成M中循环子群之直接和，或M是(r2,…,rs)形态，而H=T⊕M﹐T是H中之循环子群,所以H是( r1,r2,…,rs)形态。 结论综合定理一、二，任何有限交换群都可写成它的循环子群的直接和。