在交换代数中，可以根据整闭包的有限性将整环分成数类。以下均假设 A 为一整环。 A 被称作 N-1 环，当且仅当其在分式域 K 中的整闭包是有限 A-模。 A 被称作 N-2 环（或日本环，以纪念日本学派在此领域之贡献），当且仅当对任何有限扩张 L / K， A 在 L 中的整闭包是有限 A-模。 A 被称作泛日本环，当且仅当 A 上任何有限生成的整环都是日本环。 一个泛日本环 A 被称作永田环（或拟几何环），当且仅当 A 也是诺特环。 注：一个代数簇的局部环或其完备化称作几何环，但此概念并不流行。 凡拟优环皆为永田环，所以代数几何中处理的环几乎都是永田环。是诺特整环而非永田环的例子首先由秋月康夫于1935年给出。