单值化定理(uniformization theorem)是黎曼曲面理论中最基本最重要的定理。单值化定理表明，大多数的情形下，黎曼曲面共形等价于单位圆D对某个富克斯群G的商空间D/G，因此R上的解析函数论等价于定义在D上的对某个富克斯群G自守的函数论，反之，整个黎曼曲面理论也能以这个特殊的表示为基础进行讨论，一个经典的问题是：给定一个D上的富克斯群G，是否存在非常数亚纯函数对于G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常数的亚纯函数。庞加莱((J.-)H.Poincaré)具体构造Θ级数，后称为庞加莱级数，以此证明对给定的G是自守的函数的存在，闭黎曼曲面的一个重要定理是黎曼-罗赫定理，它给出闭黎曼曲面上亚纯函数构成的线性空间的维数，两黎曼曲面，如果存在映一个为另一个的共形映射，则称它们是共形等价的。关于闭黎曼曲面的模的黎曼问题称：亏格为g(>2)的闭黎曼曲面的共形等价类集合Rg构成3g-3维复流形，这方面基础性的工作是由弗里克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做。