在线性代数和矩阵论中,两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B。 证明: a1,a2,....an,线性无关,而a1,a2,....an,b,r线性相关,所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,线性相关,同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。若x,y都不为零,两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。 当A和B为同型矩阵,且r(A)=r(B)时,A,B一定等价。 性质: 矩阵A和A等价(反身性); 矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性); 矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性)。