连通性 百科内容来自于: 百度百科

定义

连通性是点集拓扑学中的基本概念,其定义如下:
若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭的子集,则称拓扑空间X是连通的。
若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的,则称拓扑空间X的子集E是连通的。等价描述有:
1. 称拓扑空间X是连通的,若X不能表示成两个非空不交开集的并。
2. 称拓扑空间X是连通的,若当它分成两个非空子集A、B的并A∪B时,有A交B的闭包非空,或B交A的闭包非空。
3. 称拓扑空间X是连通的,若X中既开又闭的子集只有X与空集。

性质

【连通的性质】
1. 实数集的子集是连通的,当且仅当它是一个区间
2. 连通性由同胚保持,从而是空间的拓扑性质
3. 设Ω是X的一族子集,它们的并是整个空间X,每个Ω中的成员连通,且两两不分离(即任意两个集合的闭包有非空交),则X连通
4. 若X,Y连通,则乘积空间X×Y连通

其他相关概念

1. 道路连通:
称X为道路连通的,若任取X中的两点x,y,有连接x,y的道路
2. 局部道路连通
称X为局部道路连通的,若对任意X中的点x,x的任一领域U包含x的一个道路连通邻域V
3. 局部连通
称X为局部连通的,若对任意X中的点x,x的任一领域U包含x的一个连通邻域V
道路连通空间一定是连通的,反之不然。
道路连通与局部道路连通之间没有必然联系。
连通与局部连通之间没有必然联系。
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- 来自原声例句
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