莫利定理 百科内容来自于: 百度百科

莫利定理(Morley's theorem),也称为莫雷角三分线定理。将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

证明方法

该定理以其美妙和证明困难著称,到目前为止,
已经有很多证明方法。
参考资料给出一种证明方法:设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°。

证法一

在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=
(sin3γ*sinβ)/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ(√3cosγ+sinγ)=4sinβsinγsin(60°+γ).
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]:[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,CED=60°+α
FED=180°-CED-(AED-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED为正三角形。
证法二
∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ),
AF:AB=sinβ:sin(α+β) ,
AB:AC=sin3γ:sin3β,
∴AE:AF=(ACsin(α+γ)/sinγ):(ABsin(α+β)/sinβ),
而sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ):(sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ),
∴AE:AF=sin(60°+γ):sin(60°+β),
∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,
同理∠CED=60°+α,
∴∠DEF=60°,
∴△DEF为正三角形。
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- 来自原声例句
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