正弦定理 百科内容来自于: 百度百科

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系。

定理内容

简介

正弦定理

正弦定理

在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R。则有
即,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等,该比值等于该三角形外接圆的直径长度。

定理变形

应用领域

解三角形中,有以下的应用领域:
(1)已知三角形的两角与一边,解三角形
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形
(3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
正弦定理变形形式

证明

显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
△ABC,做其外接圆,圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。
若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c = 2R。
若∠C为锐角或钝角,过B作直径BD交⊙O于D,连接DA,显然BD=2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠DAB是直角。
若∠C为锐角,则D与C落于AB的同侧,此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠D=∠C
若∠C为钝角,则D与C落于AB的异侧,此时∠D=180°-∠C,亦可推出
在△DAB中,应用正弦函数定义,知
因此,对任意三角形的任一角及其对边,均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边,应用上述结果。可得
。故对于任意三角形定理的证。

定理的意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦定理在区间上的单调性可知,正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地,把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

扩展

三角形面积公式:

1.海伦公式:
  设
,则
解释:假设有一个三角形,边长分别为
,三角形的面积S可由以上公式求得,而公式里的p为半周长。

   2.
,[R为外接圆半径] 
  
3.

正弦定理的变形公式

(1)
;
   (2)
(条件同上)
  在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解似的唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
   (3)相关结论:
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- 来自原声例句
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