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定义

三角形的外心、重心、九点圆圆心垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的 欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线

欧拉线

如右图, 欧拉线(图中的红线)是指过三角形垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和欧拉圆圆心(红点)的一条直线。
注:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆,称为欧拉圆。

证法

证法1

作△ABC的外接圆?连结并延长BO?交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM?设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB,DC⊥BC
∵ CH⊥AB,AH⊥BC
∴ DA//CH,DC//AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点,O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
∴△OMG ∽△HAG,OM/AH=1/2
∴OG/HG=1/2

证法2

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心 。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
联结OD ,又因为O为外心,所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE,有∠ODA=∠EAD。由于G为重心,则GA:GD=2:1。
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理,OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD,有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC,所以∠DFC=∠FCA,∠FDA=∠CAD,又∠OFC=∠MCF,∠ODA=∠EAD,相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2;又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD,所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长,所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。

证法3

利用向量证明,简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.,D为BC边上的中点。
向量OH=向量OA+向量AH
=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………(1)
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC;
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3(向量AB+向量AC)…………………………………………………(2)
=1/3[向量OA+(向量OA+向量AB)+(向量OA+向量AC)]
=1/3(向量OA+向量OB+向量OC).
∴向量OG=1/3向量OH,
∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。

应用

1 : 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明:设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5,且它们的模相等。
因为|z1|=|z2|,所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形,所以它们的对角线垂直,所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。
这样经过三角形z3, z4, z5的重心,且垂直于z1, z2连线的直线方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2),其中t是任意实数。
取 t=1/3,就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。
2:平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
3:平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明:第2,3个结论缘于以下事实:欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
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- 来自原声例句
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