无穷大 百科内容来自于: 百度百科

在数学方面,无穷大并非特指一个概念,而是与下述的主题相关:极限、阿列夫数、集合论中的类、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限等。

极限的定义

无穷大量就是在自变量的某个变化过程中,绝对值无限增大的变量或函数
例如
,是当
时的无穷大,记作∞ 。

精确定义

1.设函数f(x)在x 0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x 0(或x→∞)时的无穷大。
在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大。
无穷大记作,不可与很大的数混为一谈。
2.①如果当x>0且无限增大时,函数f(x)无限趋于一个常数A,则称当x→+∞时函数f(x)以A为极限.记作
=A或f(x)→A ﹙x→+∞﹚.
②如果当x<0且x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋于一个常数A,则称当x→-∞时函数f(x)以A为极限.记作
=A或f(x)→A ﹙x→-∞﹚.

分类

无穷大分为 正无穷大负无穷大无穷大(可正可负),分别记作+∞、-∞以及∞ ,非常广泛的应用于数学当中。

性质

两个无穷大量之和不一定是无穷大;
有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数);
有限个无穷大量之积一定是无穷大。
另外,一个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的(如,数列1,1/2,3,1/3,……)。

无穷级数

对於发散至正无穷大(或负无穷大)的无穷级数
,我们也记作
(或
例:
调和级数:
更一般地,对于p级数
时有
素数的倒数之和:

网上质疑

有人是这样质疑集合论的:
无穷大

无穷大

"康托时代,建立了对等比较法,认为由于自然数集,可以和偶数集建立一一对应关系,所以自然数和偶数集等势。又用对角线法,证明实数集比自然数集大。
但是对等的方法,只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。
“问:某班学生人数与教室的凳子数哪个多?最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上,而且一个学生只能坐一张凳子。最后,如果有学生没坐到凳子,那么便是学生多。如果最后有凳子空着,那么便是凳子多。”
如果是有限数量,可以用一对一的方法比较,无限数量,不行。
假设来个副校长,要求每两个学生坐一个凳子,然后他检查了教室一,教室二,教室三......他看到的每个教室都是如此,后面的教室他认为不用检查了(或根本不可能检查完——无穷的概念),于是他宣布,本学校凳子数量,正好是学生数量的一半。
第二天,又来个副校长,要求每个学生坐一个凳子,然后他检查了教室一,教室2,教室三......他看到的每个教室都是如此,后面的教室他认为就不用检查了(根本不可能检查完——无穷的概念),于是他宣布,本学校凳子数量,正好等于学生数量。
两位自以为是的校长都有可能是对的,也可能是错的,方法不对。
在有限集的比较过程中,关键不在建立了怎样的对应关系,关键在于我们要比较到最后,至少一个集合结束了,而另一个集合中元素数量已经超过对比集合数量,而且还没结束,我们才能证明一个集合建立的对应关系比另一个集合数量多。"
回应:数学的特点是自洽即可,我们可以定义有一一映射为等势,这与自身并不矛盾。从这个定义出发,人们可以创造丰富的学问。至于如何通俗地理解等势,等势和通俗的数量相等有何关系,这不是数学所考虑的范围。在这个问题中,两个校长从自身关于有限集的经验出发,试图通俗地理解无限集的等势概念,其所得到的结论都有道理。这只是通俗地理解数学概念的不同方式罢了,并不意味着等势概念就是错误的,或者说自相矛盾的。顺便说一下,从数学专业的角度来看,后来的那个校长的观点更容易理解。

基数比较

对于两个无穷集合,可以以能否建立它们之间的双射,作为比较其大小的标准。
无穷大

无穷大

确切地讲,我们用基数的概念来描述集合,对于有限集合而言,可以认为它的基数就是元素的个数,但对无穷集而言,基数只能以下面的方式理解(当然你也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数,但这个个数已经不是日常用语中的意思)。
如果集合A与集合B之间存在双射(一一对应),就认为它们的基数一样大;如果A与B的某个子集有双射,就认为A的基数不比B更大,也就是A到B有单射,B到A有满射;当A的基数不比B更大,且A、B基数不一样大时,就认为A比B基数小。
在ZFC集合论的框架下,任何集合都是良序的,从而两个集的基数总是大于、小于、等于中的一种,不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理,只有良序集的基数才能比较。
自然数集是具有最小基数的无穷集,它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标0(
)来表示。
可以证明,任何一个集合的幂集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原来的基数是a,则幂集的基数记为2^a(2的a次方)。这称为康托尔定理
由这一点可以定出几个常见的无穷大的"等级"。(注意:几级无穷大不是严格的数学术语,只是个通俗方便的用词,严格的概念要以基数的序为准,参见连续统假设)

零级无穷大

所有整数的数量(

一级无穷大

所有实数的数量(亦等于直线上所有的点数、面上所有的点数、立体上所有的点数,即

二级无穷大

可直观地理解为,在一张纸上随意地画线条(可以连续也可以不连续),所有可能画出的线条数目(曲线样式的数目)。具体而言,二级无穷大也相当于xy-平面上点集的数量。
(注意,如果只限于连续的,仍是一级的无穷大,不连续的曲线才有二级的无穷大,即

比较

最大的无穷大是多大呢?答案是没有尽头。事实上,(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应:把这些实数写成二进制,小数点后第n位为1,对应于n在子集中;为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应,因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成一个集合,他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去,得到越来越大的无穷大。
另外还有一个问题,即连续统假设:整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说,是否存在比整数基数大,而比实数基数小的无穷基数,也就是
之间有没有别的基数。
更一般的,任给定无穷基数a,在a和2 a之间是否有别的基数?这称为广义连续统假设。
数学家证明了这样一个事实:连续统假设无法在ZFC集合论公理下被证明或证伪,换而言之,承认连续统假设将导出一个体系;不承认将导出另外一种体系。连续统假设或其否定均可作为额外的公理
在集合论里可以证明,比一个集合基数大的最小基数是存在的,如果你承认连续统假设,那么可以把
改写成
改写成
,某些书籍正是这么做的,但是未明确指出这一点。
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- 来自原声例句
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