数学方法 百科内容来自于: 百度百科

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程,并加以推导、演算和分析,以形成对问题的解释、判断和预言的方法。

简介

所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式.人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了预期的目的,就成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算与分析,以形成解释、判断和预言的方法。

特征

数学方法具有以下三个基本特征:
一是高度的抽象性和概括性;
二是精确性,即逻辑的严密性及结论的确定性;
三是应用的普遍性和可操作性。

作用

数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:一是提供简洁精确的形式化语言,二是提供数量分析及计算的方法,三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电子计算机的发展,与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。

分类

在中学数学中经常用到的基本数学方法,大致可以分为以下三类:
(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因为运用于数学之中而具有数学的特色。
(2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法降次法、代入法图象法(也称坐标法,在代数中常称图象法,在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法,以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要,应用也很广泛。
(3)数学中的特殊方法。例如配方法待定系数法消元法公式法换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用。

相关

无论自然科学、技术科学或社会科学,为了要对所研究的对象的质获得比较深刻的认识,都需要对之作出量的方面的刻画,这就需要借助于数学方法。对不同性质和不同复杂程度的事物,运用数学方法的要求和可能性是不同的。总的看,一门科学只有当它达到了能够运用数学时,才算真正成熟了。在现代科学中,运用数学的程度,已成为衡量一门科学的发展程度,特别是衡量其理论成熟与否的重要标志。
科学研究中成功地运用数学方法的关键,就在于针对所要研究的问题提炼出一个合适的数学模型,这个模型既能反映问题的本质,又能使问题得到必要的简化,以利于展开数学推导。建立数学模型是对问题进行具体分析的科学抽象过程,因而要善于抓住主要矛盾,突出主要因素和关系,撇开那些次要因素和关系。建立模型的过程还是一个“化繁为简”、“化难为易”的过程。当然,简化不是无条件的,合理的简化必须考虑到实际问题所能允许的误差范围和所用的数学方法要求的前提条件。对于同一个问题可以建立不同的数学模型,同时在研究过程中不断检验、比较,逐渐筛选出最优的模型,并在应用过程中继续加以检验和修正,使之逐步完善。从一个特殊问题抽象出来的数学模型常常具有某种程度的普遍性,这是因为一个特殊的数学模型可以发展成为描述同一类现象的共同的数学模型。已经获得广泛应用并且卓有成效的数学模型大体上有两类:一类称为确定性模型,即用各种数学方程代数方程、微分方程、积分方程差分方程等描述和研究各种必然性现象,在这类模型中事物的变化发展遵从确定的力学规律性;另一类称为随机性模型,即用概率论和数理统计方法描述和研究各种或然性现象,事物的发展变化在这类模型中表现为随机性过程,并遵从统计规律,而且具有多种可能的结果。客观世界的必然性现象和或然性现象并不是截然分开的。有些事物主要地表现为必然性现象,但是当随机因素的影响不可忽视时,则有必要在确定性模型中引入随机因素,从而形成随机微分方程这样一类数学模型。20世纪70年代以来,还陆续发现在一些确定性模型中,如某些描述保守系统或耗散结构的非线性方程,并不附加随机因素,但却在一定的参数范围内表现出“内在的随机性”,即出现分岔和混沌的随机行为。这类现象的机制及其数学问题已引起数学家和科学家的重视,目前正在研究中。
数学本身是不断发展的,对各种量、量之间以及量的变化之间关系的研究也在日益深入,新的数学概念、新的数学分支在不断出现,新的数学方法同样在相应地孕育和萌生。随着数学日益广泛地向各门科学渗透,与各种对象和各种问题相结合,人们正在从中提炼出各种新的数学模型,创建各种新的数学工具。尤其是电子计算机的运用使数学方法显示出新的生机,出现了所谓“数学实验方法”。这种方法的实质是不在实际客体上实验,而在其数学模型上“实验”,这种“实验”的操作就是在电子计算机上实现大量的数值运算和逻辑运算。这就使以往由于工作量大而难以进行的试算课题有可能完成。数学方法在这方面的发展前景是可观的。
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- 来自原声例句
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