微分形式 百科内容来自于: 百度百科

微分形式(differential form)是多变量微积分,微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式,及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法,都是由著名法国数学家埃里·卡当(Elie Cartan)引入的。

定义

微分形式是微分几何学中最基本的概念。 我们首先以n维欧氏空间R^n为例, 来解释微分形式。 设(x_1,...x_n)是欧氏空间坐标。 在这个空间中, 我们有自然的度量, 即欧几里得度量, 它的微分表达式为
ds^2=dx_1^2+...dx_n^2。 这里dx_i是传统的一阶微分。而 dx_i^2 指的是 dx_i和它自己的在域R上的张量积。类似地,ds是无穷小向量dr的模长,而ds^2是ds和自己在域R上的张量积。
把dx_1(p),...dx_n (p)作为基向量,其中,p为R^n中的一个点,以实常数为系数,可以生成域R上的一个n维的向量空间T^*, 称为R^n在点p的余切空间,在线性同构的意义下,它就是R^n自己而已;而如果把系数由常数换成点p所在的开邻域上的实值函数,则上述的n个基向量可以生成函数环上的一个n秩的模,叫做一阶外微分形式模。在代数几何中,这个模是很常用的。
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另一方面, 对一个n维向量空间V, 假设e1, ...,e_n 是基向量. 我们可以定义r次外积空间A^r(V), 这个空间由以下形式的外积(有时也称楔积)作为基元素生成:e_{i1}∧e_{i2}∧...e_{ir}, 这里1≦i1≦i2≦...≦ir≦n.
今取V=T^*, 则A^r(T^*)中的元素称为r次微分形式, 它可以写成基元素dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}的线性组合。 这里每个基元素前的系数可以视作坐标(x_1,...x_n) 的函数。
微分形式的概念也可以从欧氏空间推广到微分流形上。所有微分形式放在一起构成一个外代数。

性质

微分形式的一个优点就是能做外微分运算。 比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一个r次微分形式, 那么dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 这就把一个r次微分形式映到了r+1次微分形式。换言之,
我们有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 这个映射称为外微分
易知两次外微分的复合等于零, 即dd=0,即poincare(庞加莱)引理. 一个微分形式ω如果满足dω=0, 我们就称其为闭形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我们就称其为恰当形式。 利用dd=0这一条件,我们就得到所谓的DeRham复形, 由这个复形,就导出了所谓的DeRham上同调, 它就是闭形式生成的向量空间商掉恰当形式以后得到的商空间
楔积法则:d(x∧y)=dx∧y+(-1)^(degx)*x∧dy.
此外, 外微分运算还满足牛顿-莱布尼兹公式, 即对区域边界某外微分的积分等于对区域内该外微分的微分的积分。是高斯公式,斯托克斯公式的概括和总结,是单变量微积分中牛顿-莱布尼兹公式在多变量中的推广。

斯托克斯定理

利用外微分和积分运算, 我们可以得到著名的斯托克斯定理。 它是说一个恰当形式ω=dγ在定义域M上的积分,就等于γ在M的边界上的积分。这个定理有很多特殊情况, 都是经典微积分理论中的重要公式, 比如牛顿莱布尼兹公式,高斯公式,格林公式等等。
斯托克斯定理表明, 外微分算子d和拓扑图形的边缘算子是相伴的。 这暗示了微分分析和拓扑学之间的微妙联系。

例子

取平面上的一阶微分ω=Pdx+Qdy. 那么dω=(Q_x-P_y)dx∧dy, 这里Q_x是Q关于x的偏导数,其余类似。
此时的斯托克斯公式就是格林公式, 即线积分可以转化为面积分
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- 来自原声例句
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