微分 百科内容来自于: 百度百科

在数学中,微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。比如,x的变化量△x趋于无穷小时,则记作微元dx。

一元型

定义

微分

微分

函数y = f(x)在x0的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小(注:o读作奥密克戎,希腊字母)那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部(△x→0)。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去
微分

微分

近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义:它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

推导

设函数y = f(x)在某区间内有定义,x0及x0+△x在这区间内,若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx),其中A是不依赖于△x的常数, o(Δx)是△x的高阶无穷小,则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分,记作dy,即:dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数,dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy称作△y的线性主部。得出: 当△x→0时,△y≈dy。 导数的记号为:(dy)/(dx)=f′(X),我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为dy=f′(X)dX。

几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对
几何意义

几何意义

应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元型(偏微分)

同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。一元微分一名常微分。

高阶型

我们对函数y进行微分,得出导数
,由于微分只进行了一次,所以
又被称为一阶导数。
这时,我们微分
,得出
,那么
被称为二阶导数。
同理,我们可以得到三次导数及更高次的导数
被称为n阶导数。

切线微分

当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时,前人往往采用作图法,将该点的切线画出,以切线的斜率作为该点的斜率。然而,画出来的切线是有误差的,也就是说,以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。
为例,我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率,当△x与△y的值越接近,过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m,当△x与△y的值变得无限接近于0时,直线的斜率就是点的斜率。
时,
,也就是说,
(展开)
(两边减去9)
(两边除以△x)
(m为曲线在(3,9)上的斜率,
为直线斜率)
我们得出,
在点(3,9)处的斜率为6。

当自变量为任意值

在很多情况下,我们需要求出曲线上许多点的斜率,如果每一个点都按上面的方法求斜率,将会消耗大量时间,计算也容易出现误差,这里我们仍以
为例,计算图象上任意一点的斜率m。
假设该点为(x,y),做对照的另一点为(
,
),我们按上面的方法再计算一遍:
y=x^2上任意一点的斜率

y=x^2上任意一点的斜率

(展开)
,两边减去y)
(两边除以△x)
我们得出,
在点(x,y)处的斜率为2x。

从二次函数到幂函数

通过以上的方法,我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率,但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的幂函数。现在假设有函数
,假设函数上有一点(x,y)和另一点
,我们可以这样计算斜率:
(二项展开式)
(两边除以△x)
(加上极限)
(其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0)
我们得出,
在点(x,y)处的斜率为

从幂函数到单项式

我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数
的斜率,依然假设有两点(x,y)和
(二项展开式)
(两边除以△x)
(加上极限)
(其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0)
我们得出,
在点(x,y)处的斜率为
这就是微分的基本公式,“基本法则”目录有详细的说明。
被记作

单项式

当函数为单项式
(a和n为常数)的形式时,有基本公式:
注意:基本公式极为重要,在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。

多项式

当函数为几个
形式的单项式的和或差时,这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。
以函数
为例,将其拆分为两个函数
,且
可以得出
同理可以得出
最后得出公式:
有了这两个公式,我们可以对大部分常见的初等函数求导。
注意: f'(x)是函数f(x)的导数。

运算法则

基本法则

连锁律

乘法律

除法律

导数1

正弦函数的导数

假设正弦函数y=sin x(x的单位为弧度)上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy):
d/dx(sin x)
=limδx→0 δy/δx
=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx
=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx (sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)])
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx (两边除以2)
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx
=cos 0.5(2x)×1 (limθ→0 (sin θ)/θ=1)
=cos x
最后得出 d/dx(sin x)=cos x

余弦函数的导数

我们知道cos x=sin(π/2-x),所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
假设π/2-x=u,我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导:
d/dx(cos x)
=d/dx[sin (π/2-x)]
=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) (连锁律)
=cos (π/2-x)×(-1) (d/dx(sin x)=cos x)
=-cos (π/2-x)
=-sin x (cos (π/2-x)=sin x)
最后得出 d/dx(cos x)=-sin x

正切函数的导数

由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x),我们可以用除法律对其求导:
d/dx(tan x)
=d/dx[(sin x)/(cos x)] (tan x=(sin x)/(cos x))
=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) (除法律)
=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
最后得出 d/dx(tan x)=sec^2 x

三角函数的应用1

当我们遇到y=sin/cos/tan u(u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式)这类函数的时候,可以使用连锁律求导:
①y=sin u
d/dx(sin u)
=(dy/du)(du/dx) (连锁律)
=(cos u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以:
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
②y=cos
当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以:
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
③y=tan u
d/dx(tan u)
=(dy/du)(du/dx) (连锁律)
=(sec^2 u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时,du/dx=a,所以:
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]

三角函数的应用2

有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x(n为常数)这类函数求导,使用连锁律也可以解决:
这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式:d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
①y=sin^n x
dy/dx
=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)
=n[sin^(n-1) x](cos x)
②y=cos^n x
dy/dx
=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)
=-n[cos^(n-1) x](sin x)
得出公式:
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

导数2

自然指数函数的导数

在画图软件里,我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说,m=dy/dx=y。
因此,函数e^x的导数由以下公式获得
证明:y=e^x,
y+dy=e^(x+dx),
dy=e^(x+dx)-e^x
=e^x(e^dx-1)
=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!(n∈N)}
≈dxe^x
∴d/dx(e^x)=e^x

自然指数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=e^u(u是自变量为x的函数)求导:
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) (连锁律)
=[d/du(e^u)](du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最后得出:
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b(a和b均为常数),那么du/dx=a,可以得出:
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数的导数

我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导:
y=ln x
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) (连锁律)
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1 (x=e^y)
dy/dx=1/x
最后得出:
d/dx(ln x)=1/x

自然对数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=ln u(u是自变量为x的函数)求导:
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) (连锁律)
=[d/du(ln u)](du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出:
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b(a和b均为常数),那么du/dx=a,可以得出:
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

特殊导数

三角函数

d/dx(sin x)=cos x
d/dx(cos x)=-sin x
d/dx(tan x)=sec^2 x
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

自然指数函数

d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数

d/dx(ln x)=1/x
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

微分应用

法线

我们知道,曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直,微分可以求出切线的斜率,自然也可以求出法线的斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线,且曲线上有一点(x1,y1),那么根据切线斜率的求法,就可以得出该点切线的斜率m:
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为:
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直,法线的斜率为-1/m且它的方程式为:
y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函数与减函数

微分是一个鉴别函数(在指定定义域内)为增函数减函数的有效方法。
我们知道函数y=x^2-1 (x>0)是增函数,我们用微分证明它:
∵y=x^2-1
∴dy/dx=2x
当x>0时,dy/dx>0,这说明dy/dx始终为正,所以函数y=x^2-1(x>0)是增函数。
再举一个例子,我们知道函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数,我们用微分证明它:
∵y=1/(x+1)=(x+1)^(-1)
∴dy/dx=(-1)(x+1)^(-2)=-1/(x+1)^2
由于(x+1)^2>0,dy/dx<0,这说明dy/dx始终为负,所以函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数。

变化的速率

微分在日常生活中的应用,就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。
比如说,有一个水箱正在加水,水箱里水的体积V(升)和时间t(秒)的关系为V=5-2/(t+1),
在t=3时,我们想知道此时水加入的速率,于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2,代入t=3后得出dV/dt=1/8。
所以我们可以得出在加水开始3秒时,水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。
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