并集 百科内容来自于: 百度百科

在集合论和数学的其他分支中,一组集合的并集(union)是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

定义

AB是集合,则 AB并集是有所有 A的元素或所有 B的元素,而没有其他元素的集合。 AB的并集通常写作 " AB",读作“AB”,用符号语言表示,即:
形式上, xAB的元素,当且仅当xA的元素,xB的元素。

举例

集合{1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不属于质数集合{2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合{2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数
更通常的,多个集合的并集可以这样定义:例如,A, B 和 C 的并集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而没有其他元素。
形式上,x是 ABC 的元素,当且仅当x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。

代数性质

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即 A∪( BC) = ( AB) ∪ C。事实上, ABC也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。
空集是并集运算的单位元。 即 ∅ ∪ A= A。对任意集合A,可将空集当作零个集合的并集。
结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。 例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。 若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

无限并集

最普遍的概念是:任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合,则 x 是 M 的并集的元素,当且仅当存在 M 的元素 A,x 是 A 的元素。即:
无论集合M本身为何,M 的并集是一个集合,这就是公理集合论中的并集公理
例如:A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集。同时,若 M 是空集, M 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。
上述概念有多种表示方法:集合论科学家简单地写
, 而大多数会写为
。 后者可推广
, 表示集合{Ai : i is in I} 的并集。这里
是一个集合,
是一个
的集合。在索引集合
自然数集合的情况下,上述表示和求和类似
同样,也可以写作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". (这是一个可数的集合的并集的例子,在数学分析中非常普遍;参见σ-代数)。最后,要注意的是,当符号"∪" 放在其他符号之前,而不是之间的时候,要写的大一些。 交集在无限并集中满足分配律,即
。 结合无限并集和无限交集概念,可得

性质

韦恩图表示

用韦恩图解释“并集”的概念

用韦恩图解释“并集”的概念

可用韦恩图表示(分为五种情况显示)
【说明】并集的意义:AB,即A∪B是所有A、B中的元素组成的集合,因此,A∪B中的元素至少具有集合A或集合B的属性之一。

交集的性质

关于交集有如下性质
A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A

并集的性质

关于并集有如下性质:
A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A
若A∩B=A,则A∈B,反之也成立;
若A∪B=B,则A∈B,反之也成立。
若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B;
若x∈(A∪B),则x∈A,或x∈B。
$firstVoiceSent
- 来自原声例句
小调查
请问您想要如何调整此模块?

感谢您的反馈,我们会尽快进行适当修改!
进来说说原因吧 确定
小调查
请问您想要如何调整此模块?

感谢您的反馈,我们会尽快进行适当修改!
进来说说原因吧 确定