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射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。曾经也叫做投影几何学,在经典几何学中,射影几何处于一个特殊的地位,通过它可以把其他一些几何学联系起来。

概念

射影几何的某些内容在公元前就已经发现了,基于绘图学和建筑学的需要,古希腊几何学家就开始研究透视法,也就是投影和截影。但直到十九世纪才形成独立体系,趋于完备。
1822年法国数学家彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。
应用
射影几何学在航空、测量、绘图、摄影等方面有广泛的应用。

简介

射影几何的最早起源是绘画。欧洲文艺复兴时期透视学的蓬勃发展,给射影几何的成长准备了良好的条件。懂得一点美术知识的同志都知道什么是透视。在图26中两条铁轨本来是互相平行的。通过透视,它们越到远处越是靠拢。最后在无穷远的地方相交于一点。在射影几何里,两条平行直线在无穷远处相交,该点称为无穷远点。无穷远点的轨迹是一条无穷远直线,这些与我们学过的欧氏几何是不相同的。现在来谈谈什么是射影几何。我们学过的欧氏几何,它的所有图形通过刚体变换(如平移、旋转)以后,线段的长短、角度的大小、图形和形状和面积等都不会改变。研究平面或空间几何图形在刚体变换下有哪些不变性质的几何学,就是欧氏几何学。如果从中心O发出一个光线的投射锥,矩形ABCD在平面P上的截景是A′B′C′D′。截景 A′B′C′D′ 未必还是一个矩形。从直观上很容易看到与ABCD在大小和形状上都发生了变化。那么图形A′B′C′D′ 与ABCD通过这种射影变换后,还有什么共同的几何性质呢?研究图形在射影变换下有哪些不变的性质的几何学就叫做射影几何学。射影几何里最基本的概念之一就是交比。例如在一个图形中,S为中心点,从S画出四条射线组成一个固定的线束。另一条直线与线束分别交于A、B、C、D。 AB/CD:AD/BC 或AB·CD/BC·AD 叫做这个线束上的交比。不论直线L怎样取法(如 l′ ),只要线束固定,交比的值总是不变的。交比的不变性,就是射影变换下不变性质中最基本一种性质。射影几何里许多重要的性质都是从交比性质推导出来的。

早期发展

十七世纪,当笛卡儿费马(Pierre de Fermat,一译费尔马)创立的解析几何问世的时候,还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系,它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意,欧洲文艺复兴时期透视学的兴起,给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学
基于绘图学和建筑学的需要,古希腊几何学家就开始研究透视法,也就是投影和截影。早在公元前200年左右,阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中,出现了帕普斯定理
在文艺复兴时期,人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候,人们发现,一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心,把实物的影子影射到画布上去,然后再描绘出来。在这个过程中,被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系,有的变化了,有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究,因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论,形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支,主要是在十七世纪。在17世纪初期,开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后,为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格(或译作德扎格)和布莱士·帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家,他年轻的时候当过陆军军官,后来钻研工程技术,成了一名工程师和建筑师,他很不赞成为理论而搞理论,决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年,他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》,书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作,费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中,把直线看作是具有无穷大半径的圆,而曲线的切线被看作是割线的极限,这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理:“如果两个三角形对应顶点连线共点,那么对应边的交点共线,反之也成立”,就是射影几何的基本定理。
帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献,1641年,他发现了一条定理:“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理,也是射影几何学中的一条重要定理。1658年,他写了《圆锥曲线论》一书,书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友,曾经敦促他搞透视学方面的研究,并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。
不过迪沙格和帕斯卡的这些定理,只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念,而不是用严格的射影方法,他们也没有意识到,自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法,随着解析几何和微积分的创立,综合法让位于解析法,射影几何的探讨也中断了。

最终确立

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了,前人的许多工作他们不了解,不得不重新再做。
1822年,彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点,研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后,施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法,线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖,施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系,进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性,他建立坐标系的做法还不完善,但却迈出了决定性的一步。
另—方面,运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系,把变换分为全等,相似,仿射,直射等类型,给出线束中四条线交比的度量公式等。接着,普吕克引进丁另一种齐次坐标系,得到了平面上无穷远线方程,无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念,于是从代数观点就自然得到了对偶原理,并得到了关于一般线素曲线的一些概念。
在19世纪前半叶的几何研究中,综合法和解析法的争论异常激烈;有些数学家完全否定综合法,认为它没有前途,而一些几何学家,如沙勒,施图迪和施泰纳等,则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人,如彭赛列,虽然承认综合法有其局限性,在研究过程中也难免借助于代数,但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系,而且用综合法也确实形象鲜明,有些问题论证直接而简洁。1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。
射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系,特别是“群”的概念产生以后,也被引进了射影几何学,对这门几何学的研究起了促进作用。
把各种几何和变换群相联系的是克莱因,他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点,并把几种经典几何看作射影几何的子几何,使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何,如黎曼几何,不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

内容

概括的说,射影几何学是几何学的一个重要分支学科,它是专门研究图形的位置关系的,也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候,图形的不变性质的科学。
在射影几何学中,把无穷远点看作是“理想点”。欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线,如果一个平面内两条直线平行,那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后,原来普通点和普通直线的结合关系依然成立,而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行,因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射,就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质:首先,射影变换使点列变点列,直线变直线,线束变线束,点和直线的结合性是射影变换的不变性;其次,射影变换下,交比不变。交比是射影几何中重要的概念,用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里,把点和直线叫做对偶元素,把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中,它们如果都是由点和直线组成,把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算,结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置,可把各元素改为它的对偶元素,各运算改为它的对偶运算的时候,结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上,如果一个命题成立,那么它的对偶命题也成立,这叫做平面对偶原则。同样,在射影空间里,如果一个命题成立,那么它的对偶命题也成立,叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质,也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说,射影几何学<仿射几何学< 欧氏几何学,这就是说欧氏几何学的内容最丰富,而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等),反过来,在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质,而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
1872年,德国数学家F·克莱因(Felix Klein)在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类,就是凡是一种变换,它的全体能组成“群”,就有相应的几何学,而在每一种几何学里,主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
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