子集 百科内容来自于: 百度百科

子集是一个数学概念,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集(subset)。

定义

如果集合 A的任意一个元素都是集合 B的元素(任意 aAaB),那么集合 A称为集合 B子集,记为A⊆B或 BA,读作“集合 A包含于集合 B”或集合 B包含集合 A”。
即:∀ aAaB,则 AB

延伸

  1. 根据子集的定义,我们知道 AA。也就是说, 任何一个集合是它本身的子集
  2. 对于空集∅,我们规定∅⊆ A即空集是任何集合的子集

真子集

如果集合 AB的子集,且 AB,即 B中至少有一个元素不属于 A,那么 A就是 B真子集,可记作: AB
如上面的文氏图中,集合A就是集合B的真子集。

性质

命题1:空集是任意集合的子集。
证明:给定任意集合 A,要证明∅是 A 的子集。这要求给出所有∅的元素是 A 的元素;但是,Φ没有元素。
对有经验的数学家们来说,推论“∅没有元素,所以∅的所有元素是 A 的元素" 是显然的;但对初学者来说,有些麻烦。 因为∅没有任何元素,如何使"这些元素"成为别的集合的元素? 换一种思维将有所帮助。
为了证明∅不是 A 的子集,必须找到一个元素,属于∅,但不属于 A。 因为∅没有元素,所以这是不可能的。因此∅一定是 A 的子集。
命题2:若
是集合,则:
反对称性:
当且仅当
传递性:若
这个命题说明:包含是一种偏序关系
命题3:若
是集合
的子集,则:
这个命题说明:对任意集合
幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数
命题4: 对任意两个集合A 和 B,下列表述等价:
  • A B
  • AB = A
  • A B = B
  • A − B = A (当A∩B=∅) ;A − B =(当A∩B≠∅)
  • B′ ⊆ A′
这个命题说明:表述 "A ⊆ B " 和其他使用并集,交集和补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。
命题5
假设非空集合A中含有 n个元素,则有:
  1. A的子集个数为2 n
  2. A的真子集的个数为2 n-1。
  3. A的非空子集的个数为2 n-1。
  4. A的非空真子集的个数为2 n-2。
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- 来自原声例句
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