塞瓦定理 百科内容来自于: 百度百科

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》,是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦(Giovanni Ceva,1648~1734)意大利水利工程师,数学家。

证法

(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理(简称梅氏定理)证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截,
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②*①得:(DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)×(BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1
∴(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S △ABD/S △ACD=S △BOD/S △COD=(S △ABD-S △BOD)/(S △ACD-S △COD)=S △AOB/S △AOC
同理 CE/EA=S △BOC/ S △AOB ④ ,AF/FB=S △AOC/S △BOC
③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

证明定理

利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点:
设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD,垂足分别为D、E、F,
根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cot∠BAC)/[(CD*cotABC)]*[(AE*cotABC)/(AE*cotACB)]*[(BF*cotACB)/[(BF*cotBAC)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。
三角形三条中线交于一点(重心:
如右图:已知,D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点,连接AD、BE相交于点O,连接CO并延长
塞瓦定理证明三条中线交于一点
交AB于F
求证:AF=FB
证明:∵BD=DC,CE=EA
∴BD/DC=1,CE/EA=1
由塞瓦定理得
(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1
∴AF/FB=1∴ AF=FB ,
∴CF为AB边上的中线
三角形三条中线交于一点(重心)
用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
此外,可用定比分点来定义塞瓦定理:
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。(注意与梅涅劳斯定理相区分,那里是λμν=-1)

塞瓦定理推论

1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1
正弦定理及三角形面积公式易证
2.如图,对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F,直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是:
(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式,正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

数学意义

使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。

记忆方法

塞瓦定理的优点多多,但是却不是特别好记,这里有一个方法分享给大家
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
相当于BD*CE*AF=DC*EA*FB
各位发现等式左右两端字母竟然是一样的!
可以如下表述,在记忆(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1时,可理解为在符合在三边线段的前提下,分母分子字母一样,且分母分子内部有相同字母.。
另外一种记忆方式是,将图中的ABC作为顶点,图中的DEF作为分点,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)可以看做是:顶点到分点(BD),该分点到另一顶点(DC),顶点再到分点(CE),分点再到顶点(EA),顶点再到分点(AF),分点再到顶点(FB)。一个循环。
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- 来自原声例句
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