勾股定理 百科内容来自于: 百度百科

勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²_b²=c² 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a²_b²=c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。 勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。 勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a²_b²=c²这个条件时,(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²_b²=c²。在中国数学史中同样源远流长,是中算的重中之重。《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述,赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。” 常见勾股数有(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)

定理定义

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,
,斜边长为
,那么
勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

验证推导

标准验证:该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法
如右图所示:大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形
图示 图示

青朱出入图

青朱出入图 青朱出入图
是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定
理的几何证明法,其法富有东方智慧,特色鲜明、通俗易懂。
刘徽描述此图,“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”其大意为,一个任意直角三角形,以勾宽作红色正方形即朱方,以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列,再进行割补—以盈补虚,分割线内不动,线外则“各从其类”,以合成弦的正方形即弦方,弦方开方即为弦长。

加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后,成为美国总统,所以人们又叫它总统定理
在直角梯形ABDE中,∠AEC=∠CDB=90°,△AEC
△CDB,

赵爽勾股圆方图证明法

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”,按其证明思路,其法可涵盖所有直角三角形,为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会(ICM)在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片,邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。

毕达哥拉斯定律

任何一个学过代数或几何的人,都会听到毕达哥拉斯定理.这一著名的定理,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用.古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角.他们把绳子按3,4和5单位间隔打结,然后把三段绳子拉直形成一个三角形.他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理;给定一个直角三角形,则该直角三角形斜边的平方,等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的;如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,则该三角形为直角三角形。

欧几里得的证法

欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ ABC为一直角三角形,其中 A为直角。从 A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
在定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:
  • 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)
  • 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
  • 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
  • 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。
证明的思路为:把上方的两个正方形,透过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。
证明辅助图2
其证明如下:
  1. 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。
  2. 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
  3. 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
  4. 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF
  5. 、BDA。
  6. ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是共线的,同理可证B、A和H共线。
  7. ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。
  8. 因为AB和BD分别等于FB和BC,所以△ABD必须相等于△FBC。
  9. 因为A与K和L在同一直线上,所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。
  10. 因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
  11. 因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF = AB²。
  12. 同理可证,四边形CKLE必须有相同的面积ACIH = AC²。
  13. 把这两个结果相加,AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
  14. 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
  15. 由于CBDE是个正方形,因此AB² + AC² = BC²。
证明辅助图2 证明辅助图2
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。
中国的辛卜松和邹元治也证明过勾股定理

定理推广

逆定理

勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法(依据),其中 C为最长边:
如果
,则△ABC是直角三角形。
如果
,则△ABC是锐角三角形。(若无先前条件C为最长边,则仅满足∠C是锐角)
如果
,则△ABC是钝角三角形。

推广定理

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

发展简史

在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时,也应用过勾股定理。

中国

公元前十一世纪,周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”;《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于相传是在西周由商高发现,故又有称之为商高定理。
公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,记录于《九章算术》中“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明(详见赵爽证法)。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理(详见青朱出入图)。
清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种证法。

西方

公元前六世纪,希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理,因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。
公元前4世纪,希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330~公元前275)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个很好的证明。
1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法(详见加菲尔德证法)。
1940年《毕达哥拉斯命题》出版,收集了367种不同的证法。

意义

利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用,通常是在一个直角三角形中,已知两条边的长度,求第三边。对于这类问题,可以直接代入公式进行计算,比较容易。在许多题目中,都可能出现这一小步骤来解决许多大题。
勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一,对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题,正是“数形结合”思想的体现,这样的思想角度是十分重要的。同时,勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理,我们可以推导出许多其它真命题与定理,这大大地方便了我们对几何问题的解决,也使数学的发展迈出了一大步。

常见勾股数

以下排序均为勾(短直角边)、股(长直角边)、弦(斜边)
3、4、5
5、12、13
6、8、10
7、24、25
8、15、17
9、12、15
9、40、41
10、24、26
11、60、61
12、16、20
12、35、37
13、84、85
14、48、50
15、20、25
15、36、39
16、30、34
16、63、65
18、24、30
18、 80、82
20、21、29
20、48、52
20、99、101
21、28、35
21、72、75
24、32、40
24、45、51
24、70、74
25、60、65
27、36、45
28、45、53
28、96、100
30、40、50
30、72、78
32、60、68
33、44、55
33、56、65
35、84、91
36、48、60
36、77、85
39、52、65
39、80、89
40、42、58
40、75、85
40、96、104
42、56、70
45、60、75
48、55、73
48、64、80
48、90、102
51、68、85
54、72、90
56、90、106
57、76、95
60、63、87
60、80、100
60、91、109
63、84、105
65、72、97
66、88、110
69、92、115
72、96、120
75、100、125
80、84、116
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