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公理 百科内容来自于: 百度百科

所谓公理(axiom),就是依据人类理性和不证自明的基本事实,经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的基本命题。

词语释义

1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的,并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。

基本解释

1. 依据人类理性发展起来而共同遵从的道理。
2. 经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题。

详细解释

1. 社会上公认的正确道理。
《三国志·吴志·张温传》:“竞言艳及选曹郎徐彪,专用私情,爱憎不由公理。” 清姚鼐《礼笺序》:“经之说有不得悉穷。古人不能无待於今,今人亦不能无待於后世。此万世公理也。”叶圣陶《倪焕之》十九:“世界有强权,没有公理啊!”
2. 在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的基本事实。如“等量加等量其和相等”,就是公理。

应用实例

(a)传统形式逻辑三段论关于一类事物的全部是什么或不是什么,那么这类事物中的部分也是什么或不是什么,也即如果对一类事物的全部有所断定,那么对它的部分也就有所断定,便是公理。又如日常生活中人们所使用的“有生必有死”,也属于这种不证自明的判断。
(b)在欧几里得几何系统中下面所述的都是公理:
①等于同量的量彼此相等;
②等量加等量,其和相等;
③等量减等量,其差相等;
④彼此能重合的物体是全等的;
⑤整体大于部分(注:当集合内有无限个元素的时候,该公理的正确性有待讨论。例如三角形的底边及底边上的中位线,中位线的长度为底边的一半,但是在底边上选择任意一点与顶点连接,均会得到对应的中位线上的点,即——虽然中位线的长度为底边的一半,但是其集合内的元素个数和底边的一样多。)
以下是常用的等量公理
1.等量加等量,和相等。即:如果a=b,那么a+c=b+c。
2.等量减等量,差相等。即:如果a=b,那么a-c=b-c。
3.等量的同倍量相等。即:如果a=b,那么ac=bc。
4.等量的同分量相等。即:如果a=b,且c≠0,那么a/c=b/c。
5.等量代换。即:如果a=b,b=c,那么a=c。

系统

在数学上,一个公理系统(axiomatic system,或称公理化系统,公理体系,公理化体系)是一个公理的集合,从这些公理可以逻辑地导出所有的定理。也可以说,公理系统是形式逻辑的一个完整体现。一个数学理论系统是由一个公理系统和所有它导出的定理组成的。比如:欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设,平面几何中的一切定理都可由这五条公理和公设推得。
由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系,所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论,就是基于这样的一个认识。
在数学中,所有的定理都必须给予严格的证明,但公理却是不必证明的。因为公理是人们为了方便研究(某些方面也只有有了一个标准才能进行更深层的研究,这个标准就是公理)才人为设定的,若改变在逻辑上也能过得去,但有些早已成为运用习惯或在其上建立了一个理论体系不便再更变(如面积定义就是人为将一个范围数量化,不然你想,给你一个面,没有面积定义,你说它多大,“就这么大,就这么大”,你也只能这样说);或有些是太一般性的东西,人类仍无法用现有理论推导致一般性高度(如1+1=2)。
一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念,这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念,所以就要有一些原始的概念作为定义其他概念的出发点,如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

集合论

数理逻辑主要分支之一,是用公理化方法重建(朴素) 集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛于1908年首开先河,提出了第一个集合论公理系统,旨在克服集合论中出现的悖论,20世纪20年代A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗曾予以改进和补充,从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统,简记为 ZF。ZF 是一个形式系统,建立在有等词和属于关系“∈”的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理空集公理、无序对公理、并集公理幂集公理、无穷公理、分离(子集)公理模式、替换公理模式、正则(基础)公理。如果另加选择公理(AC)则所得到的公理系统简记为ZFC(见集合论公理系统)。

化方法

概括地说,几何学公理化方法是从少数原始概念和公理出发,遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法。用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成:
(1)原始概念的列举;
(2)定义的叙述;
(3)公理的列举;
(4)定理叙述和证明.
这四个组成部分不是独立地一部分一部分的叙述和展开,而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开。一般说来,用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体.决定几何体系的基础是原始概念和公理,不同的基础决定不同的几何体系,例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等等.
几何体系的逻辑结构,主要取决于公理提出的先后次序,同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同,可以产生不同的逻辑结构.例如,中学几何教材中的“外角定理”和三角形合同的“角角边定理”是在平行公理之后提出的,因此可根据平行公理的推论“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明.但在下面提到的希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中,由于这两个定理是在平行公理之前提出的,就不允许使用“三角形内角和”定理.就是说同一欧氏几何可有多种逻辑结构,一个几何命题的证法不是通用的,它在这一逻辑结构中适用,而在另一个结构里可能不适用.
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- 来自原声例句
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