全等三角形 百科内容来自于: 百度百科

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等的一种。是一个三角形通过平移,旋转或翻折后得到的新图形与这个图形全等。正常来说,验证两个全等三角形一般用边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 和斜边,直角边(HL)来判定。 SSS同时否定AAA和ASS.

性质

1.全等三角形的对应角相等
2.全等三角形的对应边相等
3.能够完全重合的顶点叫对应顶点
4.全等三角形的对应边上的高对应相等。
5.全等三角形的对应角的角平分线相等。
6.全等三角形的对应边上的中线相等。
7.全等三角形面积周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
判定过程:
在第一行写要进行判定全等的两个三角形;
第二行画大括号,分别写判定的三个条件,并注明理由:
四种理由:
1.公共边;2.已知;3.已证;4.公共角;
四种理由

四种理由

最后一行,写两个三角形全等并注明理由.(如右图)
(不严格要求写理由)
(若为直角三角形,在第二行须先写明两个直角相等并为90度,再写两个斜边、直角边分别相等)。
(例:RT△xxx与RT△xxx)
(提示:线段的垂直平分线上的一点到线段的两个端点的距离相等)

推论

要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
S.S.S.(Side-Side-Side)(边、边、边):各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。
S.A.S.(Side-Angle-Side)(边、角、边):各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角):各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。
A.A.S.(Angle-Angle-Side)(角、角、边):各三角形的其中两个角都对应地相等,且对应相等的角所对应的边对应相等的话,该两个三角形就是全等三角形。
H.L.(hypotenuse -leg) (斜边、直角边):直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等,该两个三角形就是全等三角形。

运用

1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。
2.利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。
3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS找全等三角形。
4.用在实际中,一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角,可以用于工业和军事。
5.三角形具有一定的稳定性,所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。

解题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件
要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
分析:
(1)图中可分解出四组基本图形:有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE;△ABE≌△ACD,△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG.
(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角邻补角的知识,求得∠EBG等于160°.
(3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得:
CE=CA-AE=BA-AD=6.
解:∵△ABE≌△ACD
∠C= 20°(已知)
∴∠ABE=∠C
=20°(全等三角形的对应角相等)
∴∠EBG=180°-∠ABE
=160°(邻补角的意义)
∵△ABE≌△ACD(已知)
∴AC=AB(全等三角形对应边相等)
AE=AD(全等三角形对应边相等)
∴CE=CA-AE
=BA-AD
=6(等式性质)
例1: (2006·浙江金华) △ABC与△ABD中,AD与BC相交于O点,∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段,不再标注或使用其它字母),使AC=BD,并给出证明。
你添加的条件是: .
证明:
分析: 要说明AC=BD,根据图形想到先说明△ABC≌△BAD,题目中已经知道∠1=∠2,AB=AB,只需一组对边相等或一组对角相等即可。
解:添加的条件是:BC=AD.
证明:在△ABC与△BAD中,∠1=∠2,AB=AB,∠A=∠A'
∴ △ABC≌△BAD(SAS)。
∴ AC=BD.
小结:本题考查了全等三角形的判定和性质,答案不惟一,若按照以下方式之一来添加条件:①BC=AD,②∠C=∠D,③∠CAD=∠DBC,④∠CAB=∠DBA,都可得△CAB≌△DBA,从而有AC=BD.
二、综合开放型
例2:(2006·攀枝花)点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明。
所添条件为_______________.
你得到的一对全等三角形是:△____≌△____
证明:
分析: 在已知条件中已有一组边相等,另外图形中还有一条公共边,因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形。
解:所添条件为CE=ED.
得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE.
证明:在△CAE和△DAE中,AC=AD,AE=AE,CE=DE,
所以 △CAE≌△DAE(SSS)。
小结:本题属于条件结论同时开放的一道题目,题目本身并不复杂,但开放程度高,能激起同学们的思维兴趣,值得重视。
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- 来自原声例句
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