代数曲线 百科内容来自于: 百度百科

抽象的代数曲线定义为一维的代数簇。 紧致光滑的复代数曲线对应的复解析对象是紧黎曼面。 它是紧的2维定向实流形,也就是复的一维流形。代数曲线是代数几何中很基本的一类研究对象。

拓扑不变量

每条代数曲线都自带了一个数值不变量---亏格g. 从实流形角度看,亏格就是其上“洞”的个数。
按照亏格的大小,我们可以将代数曲线分类。 比如:
g=0 就称为射影直线
g=1 称为椭圆曲线
g=2 的曲线都是超椭圆曲线
g>2 的曲线中存在非超椭圆曲线。

研究方法

模空间观点

具有同样亏格的曲线的等价类组成的集合称为曲线模空间。 比如
g=0的曲线模空间是由一个点组成;
g=1的椭圆曲线模空间是复上半平面中的一个区域,等等。
曲线的模空间是代数几何里最重要的一类几何对象。

函数观点

我们可以考虑定义在代数曲线上的半纯函数。 半纯函数的零点极点的集合是由有限个点组成。 我们把这个集合称为主除子。 更一般的,我们可以定义除子的概念,这里不再详述。
除子概念是曲线论里最基本的概念。 与其相关的一个重要结果就是所谓的黎曼洛赫定理。 这个定理把分析拓扑巧妙的联系起来,揭示出两者间的深刻关系。

相关文献

《代数曲线论》 作者普吕克尔。该书于 1839年出版,是普吕克尔的最重要的著作。在该书中给出了所谓 的普吕克尔公式,把平面曲线的阶数和亏格数与简单奇点联系起来,证明了 描述代数曲线奇点(在该点有两两 不相同的切线)数目的方程。还研究 了四次曲线,他第一个发现这种曲 线有廿八条二重切线,其中至多八 条是实的。该著作为代数几何学的 发展做出了重要贡献。普吕克尔还 著有《解析几何的体系》、《空间 几何的体系》、《以直线作为空间 元素建立的新空间几何学》。
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