二阶微分方程 百科内容来自于: 百度百科

微分方程大致与微积分同时产生 。事实上,求y′=f(x)的原函数问题便是最简单的微分方程。而如果在该方程中y连续求两次导数的话就是二阶微分方程。

发展史

牛顿本人已经解决了二体问题:在太阳引力作用下,一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点,得到3个未知函数的3个二阶方程组,经简单计算证明,可化为平面问题,即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法,完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题,这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。总之,力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代,甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程,如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。当初,数学家们把精力集中放在求微分方程的通解上,后来证明这一般不可能,于是逐步放弃了这一奢望,而转向定解问题初值问题边值问题、混合问题等。但是,即便是一阶常微分方程,初等解(化为积分形式)也被证明不可能,于是转向定量方法(数值计算)、定性方法,而这首先要解决解的存在性、唯一性等理论上的问题。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程二次方程高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解
但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

数学解法

参考同济大学第六版《高等数学》,或者其他相关资料,如《微积分》等。
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
特征方程
两根为
1 若实根
.
2 若实根
3 若有一对共轭复根
即原方程的特征方程有一对共轭复根r1.2
(其中
,其中C1、C2为任意常数
SL方程斯图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)理论
即所有二阶线性常微分方程都可化为SL型方程.
.
其中
为所解方程相关系数,由这些系数的不同,及边值条件,初始条件把它们分成八大类,不同的类对应不同解,每一个都有特定的本征值及本征函数,这些函数构成了解.
如简谐振动,
,加上边值(如
).本征函数为
.
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- 来自原声例句
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