中线定理 百科内容来自于: 百度百科

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。

定理简介

中线定理(pappus定理),又称阿波罗尼斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容:三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。
即,对任意三角形△ABC,设 I是线段BC的中点,AI为中线,则有如下关系:
AB 2+AC 2=2BI 2+2AI 2
或作AB 2+AC 2=2·
+2AI 2

  

证明

中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论,可由斯台沃特定理直接得出,但是斯台沃特定理不容易理解,昏头昏脑。下面有四种比较容易理解的方法。

第一种

以中点为原点,在水平和竖直方向建立坐标系,
设:A(m,n),B(-a,0),C(a,0),
则:AD²+CD²=m²+n²+a²
AB²+AC²=(m+a)²+n²+(m-a)²+n²=2(m²+a²+n²)
∴AB²+AC²=2AD²+2CD²

第二种

如图,利用余弦定理来证明。

第三种

如图,AI是△ABC的中线,AH是高线。利用勾股定理来证明。
在Rt△ABH中,有AB²=AH²+BH²
同理,有AI²=AH²+HI²,AC²=AH²+CH²
并且BI=CI
那么,AB²+AC²
=2AH²+BH²+CH²
=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²
=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH
=2AI²+2BI²

第四种

向量法证明中线定理。
如图,AI是△ABC的中线,分别取向量
注意到
并且
∴得

另一个结论

在以上讨论中,通过两式相减,还可以得到 |AB^2-AC^2|=2BC×IH。 (H为垂足)
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- 来自原声例句
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