不定积分 百科内容来自于: 百度百科

在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数 F ,即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。根据牛顿——莱布尼兹公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

概念

F( x)是函数f( x)的一个原函数,我们把函数 f( x)的所有原函数 F( x)+ C(其中, C为任意常数)叫做函数 f( x)的不定积分,又叫做函数 f( x)的反导数,记作∫ f ( x)d x或者∫ f(高等微积分中常省去d x),即∫ f( x)d x= F( x)+ C。 其中∫叫做积分号, f( x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f( x)d x叫做被积式, C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
由定义可知:
求函数 f( x)的不定积分,就是要求出 f( x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数 f( x)的一个原函数,再加上任意的常数 C,就得到函数 f( x)的不定积分。

性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和;
不定积分

不定积分

2、求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。

积分公式

注:以下的 C都是指积分常数。
1、
a是常数
2、
,其中 a为常数,且 a ≠ -1
3、
4、
5、
,其中 a > 0 ,且 a ≠ 1
6、
7、
8、
9、
°
10、
°
11、
°

全体原函数之间只差任意常数C

证明:如果 f( x)在区间 I上有原函数,即有一个函数 F( x)使对任意 xI,都有 F'( x)= f( x),那么,对任何常数显然也有[ F( x)+ C]'= f( x).即对任何常数 C,函数 F(x)+ C也是 f(x)的原函数。这说明如果 f( x)有一个原函数,那么 f( x)就有无限多个原函数.
G( x)是 f( x)的另一个原函数,即∀ xIG'( x)= f( x)。于是[ G( x)- F( x)]'= G'( x)- F'( x)= f( x)- f( x)=0.
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以 G( x)- F( x)= C’( C‘为某个常数)。
这表明 G( x)F( x)只差一个常数.因此,当 C为任意常数时,表达式 F( x)+ C就可以表示 f( x)的任意一个原函数。也就是说 f( x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{ F( x)+ C|-∞< C<+∞}.
由此可知,如果 F( x)是 f( x)在区间 I上的一个原函数,那么 F( x)+ C就是 f( x)的不定积分,即∫ f( x)d x= F( x)+ C.
因而不定积分∫ f( x) d x可以表示 f( x)的任意一个原函数.

积分方法

积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

换元积分法

不定积分

不定积分

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法(即凑微分法)
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如
二、注:第二类换元法的变换式必须可逆。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项
不定积分

不定积分

式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:
1、 根式代换法,
2、 三角代换法。
不定积分

不定积分

分部积分法

设函数和 uv具有连续导数,则d( uv)= ud v+ vd u移项得到 ud v=d( uv)- vd u
两边积分,得分部积分公式
ud v= uv-∫ vd u。
称公式⑴为分部积分公式.如果积分∫ vd u易于求出,则左端积分式随之得到.
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u, v
一般来说, u, v 选取的原则是:
1、积分容易者选为 v, 2、求导简单者选为 u
分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数
有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商),分式分为真分式和假分式,而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和.可见问题转化为计算真分式的积分.
可以证明,任何真分式总能分解为部分分式之和。
不定积分

不定积分

不可积函数

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分,但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合,这样的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明,如
,x x ,sin x/ x这样的函数是不可积的。
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- 来自原声例句
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